微分方程

含有未知导数的方程叫做微分方程 ，方程的阶数最高阶导数的阶数

一阶微分方程

解法

1. （可分离变量型微分方程）化简法
   1. 可以将方程化简为$\frac{dy}{dx}=\frac{\mathrm{含}\mathrm{有}x\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}}{\mathrm{含}\mathrm{有}y\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}}$ 2.$\mathrm{含}\mathrm{有}y\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}\ast dy=\mathrm{含}\mathrm{有}x\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}\ast dx$
   2. 两边同时积分可的可得通解
2. 公式法（对于无法分离的微分方程）
   1. 对于形如$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的一阶线性微分方程， 2.$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

二阶微分方程求通解

求解步骤

二阶常系数非齐次方程求解

1. 写出特征方程：
   例如：
   $ay'' + by' + cy = 0 $
   特征方程为：
   $a{r}^2+br+c=0$
2. 求解特征根：
   • 若特征方程有两个不相等的实根 (r_1) 和 (r_2)，则通解为：$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
   • 若特征方程有两个相等的实根 (r_1 = r_2 = r)，则通解为：$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
   • 若特征方程有一对共轭复根 (r_1, r_2 = \alpha \pm \beta i)，则通解为： $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$一般不可考
3. 二阶常系数非齐次方程求解：
   1.$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=Pn(X)e^{\lambda x}$
   2. y=Y（齐次方程的通解）+y（非齐次的一个特解）
   ay'' + by' + cy = 0
   Y=齐次方程的通解 3. 求非齐次的一个特解y
   
   1. $y\ast =x^{k}Qn(x)e^{\lambda x}$
      （Qn(x)和Pn(X)代表最高次n次的一个多项式也就是说两式子最高次都是n）
      
   2. k为λ与特征方程的特征根的重复次数 0 1 2 (λ是$e^{\lambda x}$可从原式得)
   3. 设 y，将 y 带入原式求特解
      $a(y\ast {)}^{″}+b(y\ast {)}^{\prime }+cy\ast =Pn(X)e^{\lambda x}$