高等数学之向量代数与空间解析几何

一、数量积(计算结果为数 是人为定义的) 点积 内积 （用于物理中的做功计算等）

1.基本表述

$a\cdot b=|a||b|cos\theta$

2.性质

(1)$a\cdot a={\left|a\right|}^2$

(2)$a\mathrm{\perp }b\iff a\cdot b=0$

3.基本运算规律

(1) 交换律$a\cdot b=b\cdot a$

(2) 分配律$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

(3) 结合律$(\lambda a)\cdot b=\lambda (a\cdot b)(\lambda \mathrm{为}\mathrm{数})$

4.坐标表示

定义$a=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}kb=b_{x}i+b_{y}j+b_{z}k$, 则

$a\cdot b=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

$a\cdot b=\left|a\right|\left|b\right|cos\theta$

$cos\theta =\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$

5.几何意义

• 核心意义：内积是向量方向相似性的量化，结合模长和夹角反映几何关系。
• 用场景：从几何角度计算、物理做功到机器学习中的相似性分析，内积均为核心工具。

• 内积的几何意义是 投影与方向相似性的标量度量，公式为 a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

折叠文本

内积可以推到出：
三角形余弦差角公式 和合角公式 （sin是奇函数 sin(-b) = -sin b，cos是偶函数 cos(-b) = cos b）

柯西不等式

二、向量积(计算结果为向量) 外积、叉积、 矢量积

1.基本表述

$c=a\times b$ 其中 $\left|c\right|=\left|a\right|\left|b\right|sin\theta$

2.方向确定: 右手规则

例如$a\times b=c$，四指并拢先指向a向量的方向，然后将四指朝b向量方向弯曲，此时拇指所指方向即为c向量的方向

3.性质

(1)$a\times a=0$

(2)$a//b\iff a\times b=0$

4.基本运算规律

(1)$a\times b=-b\times a$

(2) 分配律$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

(3) 结合律$(\lambda a)\times b=a\times (\lambda b)=\lambda (a\times b)(\lambda \mathrm{为}\mathrm{数})$

5.坐标表示

(用行列式对角计算法)

定义$a=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}kb=b_{x}i+b_{y}j+b_{z}k$, 则

$a\times b=(a_y{b}_z-a_z{b}_y)i+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)j+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)k$

4.几何意义

• 在三维和二维（伪叉积）中叉积的模长 其$\left|c\right|$为面积 向量a与b围成的平行四边形的面积

• 高维空间无传统叉积，但有向面积可通过外积（楔积）推广为二重向量

三、混合积(计算结果为数)

1.基本表述

$\left[abc\right]=(a\times b)\cdot c$

2.坐标表示

定义：

$$\begin{gathered} a=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k \\ b=b_{x}i+b_{y}j+b_{z}k \\ c=c_{x}i+c_{y}j+c_{z}k \end{gathered}$$

则：

3.性质

(1)$(a\times b)\cdot c=a\cdot (b\times c)=b\cdot (c\times a)$顺序置换向量计算结果不变

(2) 任意对换两个向量的位置，计算结果加负号

$$\begin{gathered} (a\times b)\cdot c=-(b\times a)\cdot c \\ (a\times b)\cdot c=-(c\times b)\cdot a \\ (a\times b)\cdot c=-(a\times c)\cdot b \end{gathered}$$

(3) a、b、c三向量共面$\iff [abc]=0$

4.几何意义

二维向量交叉

向量的混合积$\left[abc\right]=(a\times b)\cdot c$的绝对值在数值上等于以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积

tips：

两个向量平行 AB=入BC

行列式：对角线法则计算得出的值

• 二阶行列式（2×2矩阵的行列式）：表示的是二维平面上由两向量张成的平行四边形的面积。
• 三阶行列式（3×3矩阵的行列式）：表示的是三维空间中由三个向量张成的平行六面体的体积。

单竖线“| |”通常表示标量的绝对值（如 |−5| = 5）。

### 双竖线“||　||” 专用于向量的模长。